Question

1．如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，∠EBA=90°，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，P为DF的中点．
（1）求证：PE∥平面ABCD
（2）设G为线段AD上一点，$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AD}$，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{39}}{26}$，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）取AD 的中点M，连接PM，BM，通过证明四边形BMPE是平行四边形得出PE∥BM，故而PE∥平面ABCD；
（2）作出线面角，用λ表示出所作直角三角形的边长，列方程解出λ．

解答 解：（1）取AD 的中点M，连接PM，BM，
∵P是DF的中点，M是AD的中点，
∴PM∥AF，PM=$\frac{1}{2}$AF，
又BE∥AF，BE=$\frac{1}{2}$AF，
BE∥PM，BE=PM，
∴四边形BEPM是平行四边形，
∴PE∥BM，又PE?平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PE∥平面ABCD．
（2）过G作GH⊥BA，交BA延长线于H，连接FH，FG，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，GH⊥AB，GH?平面ABCD，
∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GFH为直线FG与平面ABEF所成角．
∵$\overrightarrow{AG}=λ\overrightarrow{AD}$，∴AG=2λ，∵∠CBA=∠DAH=$\frac{π}{3}$，
∴GH=AG$•sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}λ$，AH=AG•cos$\frac{π}{3}$=λ，
∴HF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{16+{λ}^{2}}$，FG=$\sqrt{G{H}^{2}+F{H}^{2}}$=2$\sqrt{4+{λ}^{2}}$，
∴sin∠GFH=$\frac{GH}{FG}$=$\frac{\sqrt{3}λ}{2\sqrt{4+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，寻找平行关系，作出线面角的平面角是解题关键，属于中档题．