Question

16．已知定义域为$[{\frac{1}{3}，3}]$的函数f（x）满足：当$x∈[{\frac{1}{3}，1}]$时，$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，且当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间$[{\frac{1}{3}，3}]$内，函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（0，\frac{1}{2e}）$
• C． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• D． $[\frac{ln3}{3}，1）$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=ax有3个交点得出a的范围．

解答 解：当x∈[$\frac{1}{3}$，1]时，$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
∴f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$=-2lnx，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2lnx，\frac{1}{3}≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴有3个不同的交点，
∴y=f（x）与直线y=ax在[$\frac{1}{3}$，3]上有3个交点．
当直线y=ax经过点（3，ln3）时，a=$\frac{ln3}{3}$，
当直线y=ax与y=lnx相切时，设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故选C．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数零点个数与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．