Question

6．如图，在梯形ADEB中，AB∥DE，AD=DE=2AB，△ACD是正三角形，AB⊥平面ACD，且F是CD的中点．
（1）判断直线AF与平面BCE的位置关系并加以证明；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点P，连接BP，FP，通过证明四边形ABPF是平行四边形得出AF∥BP，从而有AF∥平面BCE；
（2）延长EB，交DA延长线于O，证明OC⊥CD，OC⊥DE即可得出OC⊥CE，于是∠DCE为所求二面角的平面角．

解答 解：（1）AF∥平面BCE，证明如下：
取CE的中点P，连接BP，FP，
∵F是CD的中点，P是CE的中点，
∴PF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，又AB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$PF，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∴AF∥BP，又AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）设EB，DA的延长线交于点O，连接OC，
则OC为平面ACD和平面BCE的交线，
设AB=1，则AD=DE=CD=AC=2，
∵AB∥DE，∴$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴OD=4，又∠CDA=60°，
∴OC=$\sqrt{16+4-2×4×2×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OC²+CD²=OD²，∴OC⊥CD，
∵AB⊥平面ACD，OC?平面ACD，
∴AB⊥OC，又AB∥DE，
∴DE⊥OC，又CD?平面CDE，DE?平面CDE，CD∩DE=D，
∴OC⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴OC⊥CE，
∴∠DCE为平面BCE与平面ACD所成锐二面角的平面角，
∵CD=DE，DE⊥CD，
∴∠DCE=45°，
∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的计算，也可用空间向量知识解出，属于中档题．