Question

7．已知以点C（t，$\frac{3}{t}}$）（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O．
（Ⅰ） 设直线3x+y-4=0与圆C交于点M、N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，设B（0，2），且P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PQ|-|PB|的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OM=ON得原点O在MN的中垂线上，由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程，求出t的值和C的坐标，代入圆的标准方程化简，再验证直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）根据三边关系判断出取最大值的条件，由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值，由点斜式方程求出BC的直线方程，以及此时点P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵OM=ON，所以，则原点O在MN的中垂线上．
设MN的中点为H，则CH⊥MN，--------------------（1分）
∴C、H、O三点共线，
∵直线MN的方程是3x+y-4=0，
∴直线OC的斜率$k=\frac{{\frac{3}{t}}}{t}$=$\frac{3}{t^2}$=$\frac{1}{3}$，解得t=3或t=-3，
∴圆心为C（3，1）或C（-3，-1）-------------------------（4分）
∴圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=10或（x+3）²+（y+1）²=10
由于当圆方程为（x+3）²+（y+1）²=10时，圆心到直线3x+y-4=0的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=10-------------------------（6分）
（Ⅱ） 在三角形PBQ中，两边之差小于第三边，故|PQ|-|PB|≤|BQ|
又B，C，Q三点共线时|BQ|最大-----------------------（9分）
所以，|PQ|-|PB|的最大值为$|{BC}|+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，
∵B（0，2），C（3，1），∴直线BC的方程为$y=-\frac{1}{3}x+2$，
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（-6，4）---------------------（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，直线垂直的条件，圆的性质，以及圆外一点与圆上一点距离最值问题等，考查转化思想．