Question

10．已知函数f（x）=x³-$\sqrt{a}$x²+|ax|-5（a≥0）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=4代入f（x），通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出函数的导数，得到函数的递减区间即可；
（2）通过讨论x的范围，确定函数f（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，问题转化为只需f（x）在（-∞，0）无零点，求出f（x）在（-∞，0）的最大值小于0即可．

解答 解：（1）a=4时，f（x）=x³-2x²+4|x|-5，
x≥0时，f（x）=x³-2x²+4x-5，
f′（x）=3x²-4x+4，△＜0，
∴f′（x）＞0在[0，+∞）恒成立，f（x）递增；
x＜0时，f（x）=x³-2x²-4x-5，
f′（x）=3x²-4x-4，
△=64，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜0，
∴f（x）在（-$\frac{2}{3}$，0）递减；
（2）x≥0时，f（x）=x³$-\sqrt{a}$x²+ax-5（a≥0），
f′（x）=3x²-2$\sqrt{a}$x+a，△=-8a＜0，
f（x）在[0，+∞）递增，而f（0）=-5＜0，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，
若函数f（x）有且只有一个零点，
只需f（x）在（-∞，0）无零点，
x＜0时，f（x）=x³$-\sqrt{a}$x²-ax-5（a≥0），
f′（x）=3x²-2$\sqrt{a}$x-a，△=16a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{\sqrt{a}}{3}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{a}}{3}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{a}}{3}$，0）递减，
∴x＜0时，f（x）_max=f（-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）=$\frac{5a\sqrt{a}}{27}$-5＜0，
解得：a＜3，
故函数f（x）有且只有一个零点时，0≤a＜3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．