Question

10．已知点A是曲线ρ=2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=4的距离的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程，通过配方可得圆心坐标，把直线方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，进而得出最小值．

解答 解：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，化为：x²+y²=2x，配方为（x-1）²+y²=1，
可得圆心C（1，0），半径r=1．
直线ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=4展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ+$\frac{1}{2}ρ$cosθ=4，可得直角坐标方程：x+$\sqrt{3}$y-8=0．
则点A到直线ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=4的距离的最小值=$\frac{|1+0-8|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$-1=$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．