Question

1．已知函数f（x）=4（x+1）²，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，实数a、b满足a＜b＜0，若?m∈[a，b]，?n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n）成立，则b-a的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出g（x）的导数，以及单调区间和极值、最值，可得g（x）∈（-∞，3]，令f（x）=4（x+1）²=3，x＜0．运用韦达定理，即可得到b-a的最大值=|x₁-x₂|．

解答 解：函数g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，
x＞0，g′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1-x）（1+x）}{x}$，
可知：0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在（0，1）上
单调递增；
x＞1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（1）=0-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{2}$=3．
因此g（x）∈（-∞，3]，
令f（x）=4（x+1）²=3，x＜0．
化为4x²+8x+1=0，
可得x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴b-a的最大值=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4-4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了转化、推理能力与计算能力，属于中档题．