Question

16．已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若A∪B=A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件得到B⊆A，从而可讨论B是否为空集，从而得出关于m的不等式或不等式组，得出m的范围求并集即可得出实数m的取值范围；
（2）由x∈Z即可得出集合A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，根据组合及二项式定理即可求出A的非空真子集的个数；
（3）根据A∩B=∅即可得到m+1＞5，或2m-1＜-2，从而便可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵A∪B=A；
∴B⊆A；
∴①B=∅时，m+1＞2m-1；
∴m＜2；
②B≠∅时，$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2m-1}\\{m+1≥-2}\\{2m-1≤5}\end{array}\right.$；
∴2≤m≤3；
∴实数m的取值范围为（-∞，3]；
（2）若x∈Z，则A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}；
∴A的非空子集的个数为${{C}_{8}}^{1}+{{C}_{8}}^{2}+{{C}_{8}}^{3}+{{C}_{8}}^{4}+{{C}_{8}}^{5}+{{C}_{8}}^{6}$$+{{C}_{8}}^{7}={2}^{8}-2=254$；
（3）∵A∩B=∅；
∴m+1＞5或2m-1＜-2；
∴m＞4，或m$＜-\frac{1}{2}$；
∴实数m的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（4，+∞）$．

点评 考查列举法、描述法表示集合的定义及表示形式，并集、交集的概念及子集的概念，元素与集合的关系．