Question

12．已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）²+y²=3．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）若直线1和圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析 （1）由直线系方程可得直线过圆内的定点，则直线l和圆C总有两个交点；
（2）由已知可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得k值．

解答 （1）证明：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），
把（0，1）代入圆C：（x-1）²+y²=3，有（0-1）²+1²=2＜3，
可得点（0，1）在圆内部，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）解：由OM⊥ON，且圆的半径为$\sqrt{3}$，∴圆心C（1，0）到直线l：y=kx+1的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
则$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得：k=2$±\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，是中档题．