Question

8．若对x＞0，y＞0，有$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$≥$\frac{m}{x+2y}$恒成立，则实数m的取值范围是m≤8．

Answer 1

分析 求出$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+$2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+2y）=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+$2\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=2y时取等号，
∴m≤8，
∴实数m的取值范围是m≤8．
故答案为：m≤8．

点评 本题考查实数m的取值范围，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．