Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点到直线x-y+3$\sqrt{2}$=0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为$\sqrt{10}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）给出定点Q（$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，0），对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用焦点到直线的距离求出c，又$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设直线AB的方程为：x=my+$\frac{6}{\sqrt{5}}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立得到方程组，利用根与系数的关系对|QA|与|QB|进行转化，要注意对特殊情况进行验证．

解答 解：（1）由右焦点（c，0）到直线x-y+3$\sqrt{2}$=0的距离为5，可得：$\frac{|c+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，解得c=2$\sqrt{2}$．
又$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$，a²=b²+c²，联立解得a=3，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）当直线与x轴重合时，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{（\frac{6\sqrt{5}}{5}+3）^{2}}$+$\frac{1}{（\frac{6\sqrt{5}}{5}-3）^{2}}$=10．
当直线与x轴不重合时，设直线AB的方程为：x=my+$\frac{6}{\sqrt{5}}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{6}{\sqrt{5}}}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化为：（m²+9）y²+$\frac{12m}{\sqrt{5}}$y-$\frac{9}{5}$=0，△＞0，
∴y₁+y₂=$-\frac{12m}{\sqrt{5}（{m}^{2}+9）}$，y₁y₂=$\frac{-9}{5（{m}^{2}+9）}$．
∴$\frac{1}{|QA{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-\frac{6}{\sqrt{5}}）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$，同理可得：$\frac{1}{|QB{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$．
∴$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{[\frac{-12m}{\sqrt{5}（{m}^{2}+9）}]^{2}+\frac{2×9}{5（{m}^{2}+9）}}{（{m}^{2}+1）[\frac{-9}{5（{m}^{2}+9）}]^{2}}$=10．
综上可得：$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=10．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．