Question

17．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q（-2，3），
（1）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；
（2）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
（3）若N（a，b）在圆C上，求z=$\frac{b-3}{a+2}$的取值范围．

Answer 1

分析 圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8．
（1）点P（m，m+1）在圆C上，代入圆的方程，解得m，利用斜率计算公式即可得出．
（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（-2，3）在圆外，|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|-r．利用两点之间的距离公式即可得出．
（3）点N在圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上，z=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定点Q（-2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．直线和圆有公共点，利用圆心到直线的距离d≤r即可得出．

解答 解：圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8．
（1）点P（m，m+1）在圆C上，
∴m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0，解得m=4，
故点P（4，5）．∴PQ的斜率是k_PQ=$\frac{5-3}{4+2}$=$\frac{1}{3}$．
（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（-2，3）在圆外，
∴|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|-r．
易求|QC|=4$\sqrt{2}$，r=2$\sqrt{2}$，
∴|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（3）点N在圆C：x²+y²-4x-14y+45=0上，
z=$\frac{b-3}{a+2}$表示的是定点Q（-2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．
设l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
直线和圆有公共点，d≤r，即$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{k2+1}}$≤2$\sqrt{2}$，
解得 2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，∴z=$\frac{b-3}{a+2}$的取值范围为[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了点及其直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．