Question

设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f（x）=

1

2

ax²+bx+1．
（1）求f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数的概率；
（2）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（1，f（1））处的切线互相平行的概率．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,几何概型

专题：导数的概念及应用,概率与统计

分析：（1）写出所有基本事件（a，b）的取法，求出满足f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数的（a，b）的个数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率；
（2）求出所有的函数种数，由两函数在（1，f（1））处的切线互相平行得到a，b满足的条件，然后借助于古典概型概率公式求得概率．

解答： 解：（1）f（x）共有四种等可能基本事件即（a，b）取（2，1）（2，3）（4，1）（4，3），
记事件A为“f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数”，
由条件知f（x）开口一定向上，对称轴为x=-

b

a

≥-1，
事件A共有三种（2，1）（4，1）（4，3）等可能基本事件，
则P（A）=

3

4

．
∴f（x）在区间（-∞，-1]上是减函数的概率为

3

4

；
（2）由（1）可知，函数f（x）共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
∵函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=a+b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（2，3），（4，1）这1组满足，
∴概率为

1

6

．

点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．