Question

古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”图①是第一至第五个四面体数．

这些数可在杨辉三角形（图②）找到
由此推出第6个四面体数为

 

（用数字作答）；第n个四面体数为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：通过观察前几个图形中顶点的个数得，每一个四面体中每层图形的顶点的个数都可以看成是一个等差数列的前几项的和，再利用等差数列的求和公式即可解决问题．

解答： 解：第一个四面体数为：1，
第二个四面体数为：1+（1+2），
第三个四面体数为：1+（1+2）+（1+2+3），
第四个四面体数为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4），
…
由此归纳可得：
第n个三角形数为：1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=

1

6

n（n+1）（n+2），
当n=6时，

1

6

n（n+1）（n+2）=56，
故答案为：56，

1

6

n（n+1）（n+2）

点评：本题主要考查了归纳推理，以及数列递推式，属于基础题．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．