题目内容
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc
（1）求sinA的值；
（2）若a=2，求b+c的最大值．
（1）求sinA的值；
（2）若a=2，求b+c的最大值．
考点：余弦定理的应用
专题：解三角形
分析：（1）利用余弦定理求出A的余弦函数值，然后求sinA的值；
（2）利用正弦定理表示b+c，利用两角和的正弦函数化简，通过B的范围求解三角函数的最大值．
（2）利用正弦定理表示b+c，利用两角和的正弦函数化简，通过B的范围求解三角函数的最大值．
解答：
解：（1）∵b2+c2=a2+bc，
∴a2=b2+c2-bc，
结合余弦定理知cosA=
，
∴A=
，∴sinA=
．…（6分）
（2）由a=2，结合正弦定理，得b+c=
sinB+
sinC…（8分）
=
sinB+
sin(
-B)…（9分）
=2
sinB+2cosB…（10分）
=4sin(B+
)，…（11分）
而B∈(0，
)，所以B+
∈(
，
)，
所以当B+
=
，即B=
时，b+c的最大值为4．…（13分）
∴a2=b2+c2-bc，
结合余弦定理知cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（2）由a=2，结合正弦定理，得b+c=
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
=
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=2
| 3 |
=4sin(B+
| π |
| 6 |
而B∈(0，
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
所以当B+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知全集U=R，集合A={x|x2-2x≤0}，集合B={y|y=ex，x∈R}，那么（∁UA）∩B=（ ）
| A、{x|x＞2} |
| B、{x|x＜0} |
| C、{x|0＜x≤1} |
| D、{x|1＜x≤2} |
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．