Question

命题p：x²-4mx+1=0有实数解，命题q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题?p∨?q为真命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）命题p为真命题，则x²-4mx+1=0有实数解，即△=16m²-4≥0即可；
（2）命题q为真命题，设f（x）=mx²-2x-1，对m分类讨论求解m的范围，然后命题?p∨?q为真命题，且命题p∨q为真命题，得p、q为一真一假，分类讨论可求的实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵x²-4mx+1=0有实根，
∴△=16m²-4≥0，
∴m≤-

1

2

或m≥

1

2

，
∴m的取值范围是（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞），
（2）设f（x）=mx²-2x-1，
当m=0时，f（x）=-2x-1，解得x=-

1

2

，q为真命题；
当m＞0时，△=4+4m＞0，q为真命题；
当m＜0时，需有△=4+4m＞0，∴m＞-1；
故若q为真命题，有：m＞-1，
∵?p∨?q为真，p∨q为真，
∴p、q为一真一假，
若p真q假，则

m≤- 1 2 或m≥ 1 2 m≤-1

，解得m≤-1，
若p假q真，则

- 1 2 ＜m＜ 1 2 m＞-1

，解得-

1

2

＜m＜

1

2

，
∴满足条件的m的取值范围是（-∞，-1]∪（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．