Question

11．已知f（x）=|x-1|-|x-a|（a为常数）．
（1）若f（2）＜f（a）-1，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为A，且A⊆[-2，3]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出各个区间上的a的范围，取并集即可；
（2）根据绝对值的性质求出f（x）的最大值，结合A，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由f（2）＜f（a）-1可得1-|a-2|＜|a-1|-1，即|a-1|+|a-2|＞2．（*）
①当a＜1时，（*）式可化为（1-a）+（2-a）＞2，解之得$a＜\frac{1}{2}$，所以$a＜\frac{1}{2}$；
②当1≤a≤2时，（*）式可化为（a-1）+（2-a）＞2，即1＞2，所以a∈∅；
③当a＞2时，（*）式可化为（a-1）+（a-2）＞2，解之得$a＞\frac{5}{2}$，所以$a＞\frac{5}{2}$．
综上知，实数a的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪$$（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
（2）因为|f（x）|=||x-1|-|x-a||≤|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，所以-|a-1|≤f（x）≤|a-1|，
由条件只需$\left\{\begin{array}{l}-|{a-1}|≥-2\\|{a-1}|≤3\end{array}\right.$即|a-1|≤2，
解之得-1≤a≤3，即实数a的取值范围是[-1，3]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．