题目内容
设两抛物线y=-x2+2x，y=x2所围成的图形为M，求：
（1）M的面积；
（2）将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
（1）M的面积；
（2）将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出积分区间，被积函数，可得M的面积；
（2）根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π
（-x2+2x-x2）dx，求出这个定积分的值，即求得题中的体积．
（2）根据题意，这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．此几何体的体积可以看作是π
| ∫ | 1 0 |
解答：
解：（1）联立y=-x2+2x与y=x2，可得x2=-x2+2x，所以x=0或x=1
所以，所求面积即
（-x2+2x-x2）dx
=
（-2x2+2x）dx=（-
x3+x2）
=
；
（2）由题意，V=π
（-x2+2x-x2）dx=
．
所以，所求面积即
| ∫ | 1 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
| 2 |
| 3 |
| | | 1 0 |
| 1 |
| 3 |
（2）由题意，V=π
| ∫ | 1 0 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查用定积分求简单几何体的体积，属于基础题．利用定积分求旋转体的体积，求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间，准确利用公式进行计算．
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