Question

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1，且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值令x=y=0，则可求f（0）的值；
（2）令y=-x，结合f（0）的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

解答： 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（3）f（x）是R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）是R上的减函数，
令x=y=

1

3

，
∴f（

2

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2，
∵f（x）+f（2+x）＜2，
∴f（2+2x）＜f（

2

3

），
∴2+2x＞

2

3

，
解得x＞-

2

3

，
故x的取值范围为（-

2

3

，+∞）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．