Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为棱AB的中点，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求三棱锥D-A₁B₁C 的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC₁，交A₁C于点O，连结OD，由已知得OD∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁DC．
（2）由已知得AB⊥CD，从而CD⊥平面ABB₁A₁，进而CD⊥平面DB₁A₁，由此能求出三棱锥D-A₁B₁C 的体积．

解答： （1）证明：连接AC₁，交A₁C于点O，连结OD，
∵ACC₁A₁是平行四边形，
∴O为AC₁中点，
∵D为AB的中点，
∴OD∥BC₁，OD=

1

2

BC₁，BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁DC．

（2）解：正△ABC中，
∵D为AB的中点，
∴AB⊥CD，
又∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面DB₁A₁，
∵CD=

3

2

，S△A1B1D=

3

2

，
∴VD-A1B1C= C-A1B1D=

1

3

CD•S△A1B1D=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

1

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．