Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥BB₁；
（Ⅱ）若P是棱B₁C₁的中点，求平面PAB将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的两部分体积之比．撸啊．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB₁A₁⊥平面ABC，从而AB⊥AC，进而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能证明AC⊥BB₁．
（Ⅱ）设平面PAB与棱A₁C₁交于Q，连结AQ，PQ，将棱台C₁PQ-ABC还原为棱锥S-ABC，由此能求出平面PAB将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的两部分体积之比．

解答： （Ⅰ）证明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BB₁．

（Ⅱ）解：设平面PAB与棱A₁C₁交于Q，
∵P为棱B₁C₁的中点，∴Q为棱A₁C₁的中点，
连结AQ，PQ，
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积为S，高为h，体积为V，
则Sh=V，
如图，将棱台C₁PQ-ABC还原为棱锥S-ABC，
解得VPQC1-ABC=

7

12

V，
VAB-A1B1PQ=V-

7

12

V=

5

12

V，
∴平面PAB将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的两部分体积之比为：

VPQC1-ABC

VAB-A1B1PQ

=

7

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．