Question

3．设f（x）=ax³+bx+c （a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f?（x）的最小值为-12．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质可得c=0，求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a，b，进而得到所求解析式；
（2）求出f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间；求出极值和端点处的函数值，即可得到所求的最值．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx+c （a≠0）为奇函数，
可得f（0）=0，即为c=0，
f（x）的导数为f′（x）=3ax²+b，
在点（1，f（1））处的切线斜率为3a+b，
由切线与直线x-6y-7=0垂直，可得3a+b=-6，
导函数f′（x）的最小值为-12，可得a＞0，b=-12，
解方程可得a=2，b=-12，
即有f（x）=2x³-12x；
（2）f（x）=2x³-12x的导数为f′（x）=6x²-12，
由6x²-12＞0，解得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
即为f（x）的单调递增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；
由f′（x）=6x²-12=0，解得x=$\sqrt{2}$（负的舍去），
由f（-1）=-2+12=10，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=54-36=18，
可得f（x）在[-1，3]上的最大值为18，最小值为-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．