Question

14．（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项为（　　）

• A． 32
• B． 90
• C． 140
• D． 141

Answer 1

分析 先将原式写成：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶，再用二项式定理将该式展开，根据常数项的特征，得出常数项为：${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$，最后求出其值即可．

解答 解：（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶=[1+（x+$\frac{1}{x}$）]⁶
=${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{1}$（x+$\frac{1}{x}$）+${C}_{6}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）²+${C}_{6}^{3}$（x+$\frac{1}{x}$）³+…+${C}_{6}^{6}$（x+$\frac{1}{x}$）⁶，
上式共有7项，其中第一，三，五，七项存在常数项，
因此，这四项的常数项之和即为原式的常数项，
且各项的常数项如下：
${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{6}^{4}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{6}^{6}$•${C}_{6}^{3}$
=1+30+90+20=141，
即（x+1+$\frac{1}{x}$）⁶的常数项为141，
故答案为：D．

点评 本题主要考查了二项式定理及其应用，涉及二项式系数的性质和常数项的确定，以及组合数的运算，属于中档题．