Question

20．已知定点A（2，0），圆x²+y²=1上有一个动点Q，若AQ的中点为P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设P的轨迹为曲线C，过点$B（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$作曲线C的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （1）设出动点P、Q的坐标，利用线段AQ的中点为点P，确定坐标之间的关系，利用Q是圆x²+y²=1上的动点，即可求得方程，从而可得动点P的轨迹方程．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线方程．

解答 解：（1）设P的坐标为（x，y），Q（a，b），则
∵定点A为（2，0），线段AQ的中点为点P，
∴2x=2+a，2y=b，
∴a=2x-2，b=2y
∵Q是圆x²+y²=1上的动点
∴a²+b²=1
∴（2x-2）²+（2y）²=1
∴（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$；
（2）斜率不存在时，方程x=$\frac{1}{2}$满足题意；
斜率存在时，设方程为y-$\frac{1}{2}$=k（x-$\frac{1}{2}$），即kx-y-$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=0，方程为y=$\frac{1}{2}$，
综上所述，切线方程为x=$\frac{1}{2}$或y=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．