Question

20．数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先看n≥2根据题设条件可知a_n=3S_n-1，两式想减整理得a_n+1=4a_n，判断出此时数列{a_n}为等比数列，a₂=3a₁=3，公比为4，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．

解答 解：当n≥2时，a_n=3S_n-1，
∴a_n+1-a_n=3S_n-3S_n-1=3a_n，
即a_n+1=4a_n，
∴数列{a_n}为等比数列，a₂=3a₁=3，公比为4
∴a_n=3•4^n-2，
当n=1时，a₁=1
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（n=1）\\ 3×{4^{n-2}}（n≥2）\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式．解题的最后一定要验证a₁．是基础题．