Question

12．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x²+5y²=5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB-sin A=sinC．
（1）求线段AB的长度；
（2）求顶点C的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）化简椭圆为标准方程，求出a，b，c，即可求解线段AB的长度．
（2利用正弦定理转化已知条件为线段方程，利用双曲线定义求解轨迹方程即可．

解答 解：（1）将椭圆方程化为标准形式为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
∴a²=5，b²=1，c²=a²-b²=4，
则A（-2，0），B（2，0），|AB|=4．
（2）∵sin B-sin A=sin C，
∴由正弦定理得
|CA|-|CB|=|AB|=2＜|AB|=4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c=2，a=1，
∴所求的点C的轨迹方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞1）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，轨迹方程的求法，双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．