Question

12．若对任意实数x，不等式x²-mx+（m-1）≥0恒成立
（1）求实数m的取值集合；
（2）设a，b是正实数，且n=（a+$\frac{1}{b}$）（mb+$\frac{1}{ma}$），求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出m的值即可；
（2）根据基本不等式的性质求出n的最小值即可．

解答 解：（1）∵x²-mx+（m-1）≥0在R恒成立，
∴△=m²-4（m-1）≤0，解得：m=2，
故m∈{2}；
（2）∵m=2，a，b是正实数，
∴n=（a+$\frac{1}{b}$）（mb+$\frac{1}{ma}$）
=（a+$\frac{1}{b}$）（2b+$\frac{1}{2a}$）
=2ab+$\frac{1}{2ab}$+$\frac{5}{2}$
≥2$\sqrt{2ab•\frac{1}{2ab}}$+$\frac{5}{2}$
=$\frac{9}{2}$，
故n的最小值是$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．