Question

18．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AP⊥PD，侧面PAD⊥底面ABCD，点E、F分别为PC、BD的中点．
求证：（1）平面PDC⊥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）由平面PAD⊥平面ABCD，又ABCD是正方形，可证CD⊥AD，CD⊥平面PAD，结合CD?平面PDC，即可证明平面PDC⊥平面PAD．
（2）连接AC，则EF∥PA，要证明EF⊥平面PDC，只需证PA⊥平面PDC即可，已知PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要证明CD⊥平面PAD，由（1）即可得证．

解答 证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又由于ABCD是正方形，CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD（6分）
（2）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（9分）
∵由（1）可得CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA（12分）
又PA⊥PD，
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，
又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）

点评 本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．