Question

13．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，先给出以下四个命题：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈（0，$\frac{π}{2}$）；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{2}$；
（3）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈（$\frac{π}{2}$，π）；
（4）|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=π．
其中正确的命题共有1个．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，可得（1），（3），（4）错误，（2）正确．

解答 解：对于（1），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0?cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞＞0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈[0，$\frac{π}{2}$），
故（1）错误；
对于（2），（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0?$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{2}$．
故（2）正确；
对于（3），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0?cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞＜0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈（$\frac{π}{2}$，π]，
故（3）错误；
对于（4），|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|?cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0．
故（4）错误．
故答案为：1个．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的共线和垂直的条件，以及向量的夹角问题，属于基础题和易错题．