Question

3．已知O为△ABC内一点，且$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△AOC与△ABC的面积之比是$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 作图，从而可得$\overrightarrow{OF}$=-4$\overrightarrow{OD}$，从而解得．

解答 解：作图如右图，
∵$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=-4（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OF}$=-4$\overrightarrow{OD}$，
设O到AC的距离为d，O到DE的距离为e，
则B到AC的距离为2（d+e），
∵$\overrightarrow{OF}$=-4$\overrightarrow{OD}$，
∴$\frac{d}{e}$=4，
故$\frac{d}{2（d+e）}$=$\frac{2}{5}$，
故△AOC与△ABC的面积之比是$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想应用．