Question

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=3^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（2）已知函数h（x）=lg

a

x2+1

具有性质M，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）由新定义，将f（x）=3^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），化简计算即可得证；
（2）h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入化简整理得到二次方程，讨论a=2，a≠2，且判别式大于等于0，解出它们求并集即可得到所求的范围．

解答： （1）证明：f（x）=3^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：3x0+1=3x0+3，
即：3x0=

3

2

，解得x0=log3

3

2

． 
所以函数f（x）=3^x具有性质M．
（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．
因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），
代入得：lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

．化为2(x02+1)=a(x0+1)2+a，
整理得：(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有实根．
①若a=2，得x0=-

1

2

．
②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

5

，3+

5

]，
所以：a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
综上可得a∈[3-

5

，3+

5

]．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查指数函数和对数函数的性质及运用，考查运算能力，属于中档题．