Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=2，BC=2

3

，∠BAC=

π

2

，且此三棱柱的各顶点都在一个球面上，则球的体积为

32

3

π

．

Answer 1

分析：根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点．在直角Rt△POB中，利用勾股定理算出BO的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积．

解答：解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，（如图），
∵△ABC中，∠BAC=

π

2

，
∴下底面△ABC的外心P为BC的中点，
同理，可得上底面△A₁B₁C₁的外心Q为B₁C₁的中点，
连接PQ，则PQ与侧棱平行，所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中点O，可得：点O到A、B、C、A₁、B₁、C₁的距离相等，
∴O点是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心
∵Rt△POB中，BP=

1

2

BC=

3

，PQ=

1

2

AA₁=1，
∴BO=

BP2+OP2

=2，即外接球半径R=2，
因此，三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球的体积为：
V=

4

3

πR³═

4

3

π×2³=

32

3

π．
故答案为：

32

3

π

点评：本题给出特殊的直三棱柱，求它的外接球的体积．着重考查了线面垂直的性质、球内接多面体和球体积的公式等知识，属于基础题．