题目内容
（2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=| 5 |
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
分析：（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出EO．
（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是
=（x，y，z），利用
，
夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是
| n |
| OE |
| n |
解答：
（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，
因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C，又AO=
=1，AA1=
，
得AE=
=
，
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）
由
=
，得点E得坐标是（
， 0，
），
设平面A1B1C的法向量是
=（x，y，z），由
得
令y=1，得x=2，z=-1，所以
=（2，1，-1），
所以cos＜
，
＞=
=
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为
．
（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB1C1C，又AO=
| AB2-BO2 |
| 5 |
得AE=
| AO2 |
| AA1 |
| ||
| 5 |
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A1（0，0，2）
由
| AE |
| 1 |
| 5 |
| AA1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
设平面A1B1C的法向量是
| n |
|
|
令y=1，得x=2，z=-1，所以
| n |
所以cos＜
| OE |
| n |
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，本题具有建立空间直角坐标系的良好空间特征，故用向量法为宜．
练习册系列答案
相关题目