题目内容

在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=
5
,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)求二面角A-BC1-B1的余弦值;
(3)若M,N分别为直线AA1,B1C上动点,求MN的最小值.
分析:(1)利用点到平面的距离公式求距离.
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的大小.
(3)利用向量法求线段的长度.
解答:解:(1)连接AO,因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC,因为AB=AC,OB=OC,
得AO⊥BC,AO=
AB2-BO2
=1
,在△AOA1中,A1O=2,
在△BOA1中,A1B=2
2
,则SA1AB=
6
.又S△CAB=2.
设点C到平面A1ABB1的距离为h,
则由VC-A1AB=VA1-ABC得,
1
3
SA1AB•h
=
1
3
S△CABA1O
.从而h=
2
3
6
.…(4分)
(2)如图所示,分别以OA,OB,OA1所在的直线 为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,-2,0),A1(0.0,2),B(0,2,0),B1(-1,2,2),C1(-1,-2,2).
设平面BCC1B1的法向量
n
=(x,y,z)

BB1
=(-1 ,0, 2)
CB
=(0,4 , 0)

n
BB1
=0
n
CB
=0
,得
-x+2z=0
4y=0

令z=1,得x=2,y=0,即
n
=(2,0,1)

设平面ABC1的法向量
m
=(a,b,c)
,又
AB
=(-1 ,2, 0)
AC1
=(-2,-2, 2)

m
AB
=0
m
AC1
=0
,得
-a+2b=0
-2a-2b+2c=0
,令b=1,得a=2,c=3,即
m
=(2,1,3)

所以cos<
m
n
>=
m
n
|m
|•|
n|
=
70
10
,…(7分)
由图形观察可知,二面角A-BC1-B1为钝角,
所以二面角A-BC1-B1的余弦值是-
70
10
.…(9分)
(3)方法1.在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1
因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC,因为AB=AC,OB=OC,
得AO⊥BC,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,
所以OE⊥平面BB1C1C.从而OE⊥B1C
在△AOA1中,OE=
2
5
5
为异面直线AA1,B1C的距离,即为MN的最小值.…(14分)
方法2.设向量
n
1
=(x1y1z1)
,且
n
1
AA1
n
1
B1C.

AA1
=(-1 ,0, 2)
B1C
=(1 ,-4, -2)

n
1
AA1
=-x1+2z1=0,
n
1
B1C=
x1-4y1-2z1=0

令z1=1,得x1=2,y1=0,即
n
1
=(2,0,1)

AC
=(-1,-2, 0)

所以异面直线AA1,B1C的距离d=|
AC
n1
|
n1|
|=
2
5
5
,即为MN的最小值.…(14分)
点评:本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题,要求熟练掌握相关的定理和公式.
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