Question

17．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆与双曲线交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD恰为正方形，且周长为6b，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{{\sqrt{11}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知x²=y²，8丨x丨=6b，则丨x丨=$\frac{3}{4}$b，且x²+y²=c²，即可求得8c²=9b²，a²=c²-b²=$\frac{1}{9}$c²，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设A（x，y），B（-x，y），C（-x，-y），D（x，-y），
由于四边形ABCD是正方形，周长为6b，
∴x²=y²，8丨x丨=6b，则丨x丨=$\frac{3}{4}$b，①
由x²+y²=c²，即c²=2x²，②
由①②解得：8c²=9b²，
a²=c²-b²=$\frac{1}{9}$c²，
即a=$\frac{1}{3}$c，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=3，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线离心率的求法，考查数形结合思想，属于中档题．