Question

5．如图，梯形ABCD，|$\overrightarrow{DA}$|=2，∠CDA=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{DA}$=2$\overrightarrow{CB}$，E为AB中点，$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DC}$（0≤λ≤1）．
（Ⅰ）当λ=$\frac{1}{3}$，用向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$表示的向量$\overrightarrow{PE}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{DC}$|=t（t为大于零的常数），求|$\overrightarrow{PE}$|的最小值并指出相应的实数λ的值．

Answer 1

分析 （I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}$表示出$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{BE}$，利用三角形法则即可得出结论；
（II）根据（I）得出$\overrightarrow{PE}$的表达式，两边平方得出${\overrightarrow{PE}}^{2}$关于λ的二次函数，根据二次函数的性质求出最值．

解答 解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F，
则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DF}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
λ=$\frac{1}{3}$时，$\overrightarrow{PC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{PE}$=$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DA}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{DC}$．
（II）∵$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{PC}$=（1-λ）$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{PE}$=$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$=（1-λ）$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{1}{2}-λ$）$\overrightarrow{DC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DA}$，
∵$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}$=2tcos60°=t，${\overrightarrow{DC}}^{2}$=t²，${\overrightarrow{DA}}^{2}$=4，
∴$\overrightarrow{PE}$²=（$\frac{1}{2}-λ$）²t²+$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2}-λ$）t=[（$\frac{1}{2}-λ$）t+$\frac{3}{4}$]²+$\frac{27}{16}$，
∴当（$\frac{1}{2}$-λ）t=-$\frac{3}{4}$时即λ=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4t}$时，$\overrightarrow{PE}$²取得最小值$\frac{27}{16}$．
∴$\overrightarrow{PE}$的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，此时λ=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4t}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的应用，属于中档题．