Question

12．已知不等式mx²-2mx-1＜0．
（1）若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|≤1的一切m的值都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出m的范围即可；
（2）根问题转化为$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x-1＜0}\\{{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解不等式组即可．

解答 解：（1）m=0时，-1＜0恒成立，
m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={4m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，解得：-1＜m＜0，
综上，m的范围是（-1，0]；
（2）设f（m）=（x²-2x）m-1，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+2x-1＜0}\\{{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≠1}\\{1-\sqrt{2}＜x＜1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴1-$\sqrt{2}$＜x＜1或1＜x＜1+$\sqrt{2}$，
故x的范围是（1-$\sqrt{2}$，1）∪（1，1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查绝对值问题，是一道中档题．