题目内容
9．
如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且$\overrightarrow{DP}=\sqrt{2}\overrightarrow{DM}$．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）若点Q（1，1）恰为直线l与曲线C相交弦的中点，试确定直线l的方程；
（3）直线$x+y-\sqrt{3}=0$与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求SEFGH的最大值．
分析 （1）设M的坐标为（x，y），由已知得点P的坐标是（x，$\sqrt{2}$y），由此能求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l与曲线C相交弦为ABA（x1，y1），B（x2，y2），代入两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
（3）求出|FH|的最大值，即可求出SEFGH的最大值．
解答 解：（1）由$\overrightarrow{DP}=\sqrt{2}\overrightarrow{DM}$知点M为线段PD的中点，
设点M的坐标是（x，y），则点P的坐标是（x，$\sqrt{2}$y），
∵点P在圆x2+y2=6上，
∴x2+2y2=6．…（3分）
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直线l与曲线C相交弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程，两式相减可得：（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∵弦AB中点为（1，1），
∴kAB=-$\frac{1}{2}$．
∴直线l的方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），解得x+2y-3=0．
（3）设FH的方程为y=x+b，代入椭圆方程，可得3x2+4bx+2b2-6=0，
∴|FH|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4•\frac{2{b}^{2}-6}{3}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{-\frac{8}{9}{b}^{2}+8}$，
∴b=0，|FH|的最大值为4，
直线$x+y-\sqrt{3}=0$与曲线C联立，可得$3{x}^{2}-4\sqrt{3}x=0$，
∴|EG|=$\sqrt{2}•\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴SEFGH的最大值为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
点评 本题考查轨迹方程，考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
小题狂做系列答案| A． | $y=sin（{\frac{x}{2}+\frac{5π}{6}}）$ | B． | $y=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$ | C． | y=2sin2x-1 | D． | $y=cos（{2x-\frac{π}{6}}）$ |
| A． | 2ln 2 | B． | 2-ln 2 | C． | 4-ln 2 | D． | 4-2ln 2 |
如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°，E为AB的中点，F为CC1的中点，则EF的长为$\sqrt{3}$．