题目内容

19．下列函数称为双曲函数：双曲正弦：shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，双曲余弦：chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，双曲正切：thx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$．
（1）对比三角函数的性质，请你找出它们的三个类似性质；
（2）求双曲正弦shx的导数，并求在点x=0处的切线方程．

分析 （1）对照双曲函数的定义和三角函数的性质，即可得到三个类似性质；
（2）求出双曲正弦的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（1）由双曲正弦：shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，双曲余弦：chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，双曲正切：thx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$．
可得thx=$\frac{shx}{chx}$，ch2x-sh2x=1，sh2x=2shx•chx；
（2）（shx）′=（$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$）′=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
可得在点x=0处的切线斜率为$\frac{{e}^{0}+{e}^{0}}{2}$=1，切点为（0，0），
所以切线方程为y=x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查双曲函数的性质，注意运用类比思想，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
9．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与其交于A，B两点，|AF|＞|BF|，如果|AF|=5，那么|BF|=（　　）
A．$\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$B．$\frac{5}{4}$C．$\frac{5}{2}$D．$\frac{3}{2}$
10．复数z满足z=（5+2i）2，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为$（{-1，-\frac{1}{3}}）$，且过坐标原点O，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的表达式；
（2）设bn=an•an+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；
（3）在数列{an}中是否存在这样的一些项，an1，an2，an3，…nank，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{ank}？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由．
14．已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为$-\frac{3}{4}$，若直线m与l平行且两直线间的距离为3，则直线m的方程为3x+4y+1=0，或 3x+4y-29=0．
4．在数列{an}中，a1=1，$（{n^2}+2n）（{a_{n+1}}-{a_n}）=1（n∈{N^*}）$，则通项公式an=$\frac{7}{4}-\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
11．在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）判断是否能有95%的把握说晕机与性别有关？
P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
8．关于函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，有下列说法：
①函数y=f（x）的表达式可以该写为$y=4cos（{2x-\frac{π}{6}}）$；
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y=f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{6}，0}）$对称；
④函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称；
⑤函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象关于原点对称．其中正确的是①③．（填上所有你认为正确的序号）
9．若a＞3，则方程x3-ax2+1=0在区间（0，2）上的实根个数是（　　）
A．3 个B．2 个C．1个D．0个

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网