关于函数$f(x)=4sin$.有下列说法:①函数y=f(x)的表达式可以该写为$y=4cos$,②函数y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数,③函数y=f(x)的图象关于点$$对称,④函数y=f(x)的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称,⑤函数y=f(x)的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象关于原点对称．其中正确的是①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．关于函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，有下列说法：
①函数y=f（x）的表达式可以该写为$y=4cos（{2x-\frac{π}{6}}）$；
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y=f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{6}，0}）$对称；
④函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{6}$对称；
⑤函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象关于原点对称．其中正确的是①③．（填上所有你认为正确的序号）

分析利用诱导公式，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答解：对于函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，利用诱导公式可得f（x）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（$\frac{π}{6}$-2x）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故①正确；
根据函数$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，可得它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，故②错误；
令x=-$\frac{π}{6}$，可得f（x）=4sin0=0，故函数y=f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{6}，0}）$对称，故③正确；
令x=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=4sin$\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，不是最值，故函数y=f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{6}$对称，故④错误；
函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后，可得y=4sin（2x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
而函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象不关于原点对称，故所得的图象不关于原点对称，故⑤错误，
故答案为：①③．

点评本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．

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19．下列函数称为双曲函数：双曲正弦：shx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，双曲余弦：chx=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，双曲正切：thx=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$．
（1）对比三角函数的性质，请你找出它们的三个类似性质；
（2）求双曲正弦shx的导数，并求在点x=0处的切线方程．

16．

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

	A．	函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）		B．	函数f（x）有极大值f（-3）和极小值f（1）
	C．	函数f（x）有极大值f（-3）和极小值f（3）		D．	函数f（x）有极大值f（3）和极小值f（-2）