Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，$（{n^2}+2n）（{a_{n+1}}-{a_n}）=1（n∈{N^*}）$，则通项公式a_n=$\frac{7}{4}-\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，然后利用累加法求数列的通项公式．

解答 解：由$（{n^2}+2n）（{a_{n+1}}-{a_n}）=1（n∈{N^*}）$，得：
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）+…+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+1$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+1=\frac{7}{4}-\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
故答案为：$\frac{7}{4}-\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．