Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，且对任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|恒成立，则|$\overrightarrow{a}$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，把所给的不等式平方可得m²+mx+x²≥m²-m+1，即为x²+mx+m-1≥0，根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：设|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，
由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，得到|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，所以${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+x²${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，
得m²+mx+x²≥m²-m+1，
即x²+mx+m-1≥0，
又不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，
∴△=m²-4（m-1）=（m-2）²≤0，
解得m=2，
故选：C

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于中档题．