Question

18．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平分数和中位数；
（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如表：

参赛选手成绩所在区间	（40，50]	（50，60）
每名选手能够进入第二轮的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$

假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质先求出a，由此能估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；
（2）根据题意知，成绩在（40，50]，（50，60）内选手分别有2名和2名，随机变量X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由10（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，
平均数$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82，
由图可知：前两个矩形面积之和为0.5，
∴中位数为80；
（2）由题意可知：成绩在（40，50]，（50，60）内选手各由两名，
则随机变量X的取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

∴X数学期望E（X）=0×$\frac{1}{36}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的性质及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，在历年高考中都是必考题型之一，属于中档题．