Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列；
（2）若33≤a_n＜193，求n的取值的集合．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），变形为：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=2，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=（n+1）•2ⁿ．33≤a_n＜193，化为33≤1+（n+1）•2ⁿ＜193，解出即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），变形为：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列，首项为2，公差为1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．
∵33≤a_n＜193，∴33≤1+（n+1）•2ⁿ＜193，
解得n=3，4，5．
∴n的取值的集合为{3，4，5}．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．