Question

18．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a，b，c成等差数列．
（1）求∠B的最大值B₀；
（2）在（1）之下，求f（x）=sin（2x+B₀）+$\sqrt{3}$cos（2x+B₀）在[0，π]上的单调递减区间与最值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质，正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，进而可得sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，（当且仅当A=C时取等号），结合范围0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，可求∠B的最大值B₀．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可解得f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）单调递减区间，结合范围∈[0，π]，可求所求单调递减区间，利用正弦函数的图象和性质可求最值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a，b，c成等差数列．
∴2b=a+c，由正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，
∴4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，…3分
∵sin$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{B}{2}$＞0，
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，（当且仅当A=C时取等号）
∴0＜sin$\frac{B}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∵0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0$＜B≤\frac{π}{3}$，
∴B₀=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴所求单调递减区间为：[0，$\frac{5π}{12}$]和[$\frac{11π}{12}$，π]，…10分
∵0≤x≤π，
∴$\frac{2π}{3}$≤x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{5π}{3}$，
于是当x=$\frac{11π}{12}$时，f（x）_max=2，当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）_min=-2．…12分

点评 本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质等知识的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．