题目内容
已知f（x）=ex-t（x+1）．
（1）若f（x）≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+
，且A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1n+2n+…+（n-1）n≤nn（n∈N*）．
（1）若f（x）≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+
| t |
| ex |
（3）求证：1n+2n+…+（n-1）n≤nn（n∈N*）．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）由已知条件推导出t＜
，（x＞0）恒成立，设p（x）=
，（x≥0），则p（x）≥p（0）=1，由此能求出t的取值范围．
（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，设F（x）=gx-mx，则对任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，由此能求出m的取值范围．
（3）由（1）知x≤ex-1．取x=
，(k=1，2，…，n-1)，则(
)n≤(e
-1)n=
，由此能证明1n+2n+…+（n-1）n≤nn（n∈N*）．
| ex |
| x+1 |
| ex |
| x+1 |
（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，设F（x）=gx-mx，则对任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，由此能求出m的取值范围．
（3）由（1）知x≤ex-1．取x=
| k |
| n |
| k |
| n |
| k |
| n |
| ek |
| en |
解答：
（1）解：∵f（x）=ex-t（x+1），f（x）≥0对一切正实数x恒成立，
∴t＜
，（x＞0）恒成立，
设p（x）=
，（x≥0），则p′(x)=
，
∴p（x）在x∈[0，+∞）单调递增，
p（x）≥p（0）=1．（x=1时取等号），
∴t≤1．即t的取值范围是（-∞，1]．
（2）解：设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，
＞m，∴g（x2）-mx2＞g（x1）-mx1，
设F（x）=gx-mx，则F（x）在R上单调递增，
即F′（x）=g′（x）-m＞0恒成立，
即对任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，
∵g′（x）=ex-t-
≥2
-t=-t+2
=（
+1）2-1≥3．
∴m＜3，即m的取值范围是（-∞，3）．
（3）证明：由（1）知，x+1≤ex=e（x+1）-1，∴x≤ex-1．
取x=
，(k=1，2，…，n-1)，则(
)n≤(e
-1)n=
，
(
)n≤
=
•
=
(
-
)＜
＜1，
(
)n＜1，∴
kn＜nn，
∴1n+2n+…+（n-1）n≤nn（n∈N*）．
∴t＜
| ex |
| x+1 |
设p（x）=
| ex |
| x+1 |
| xex |
| (x+1)2 |
∴p（x）在x∈[0，+∞）单调递增，
p（x）≥p（0）=1．（x=1时取等号），
∴t≤1．即t的取值范围是（-∞，1]．
（2）解：设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，
| g(x2)-g(x1) |
| x2-x1 |
设F（x）=gx-mx，则F（x）在R上单调递增，
即F′（x）=g′（x）-m＞0恒成立，
即对任意的t≤-1，x∈R，m＜g′（x）恒成立，
∵g′（x）=ex-t-
| t |
| ex |
ex•(
|
| -t |
| -t |
∴m＜3，即m的取值范围是（-∞，3）．
（3）证明：由（1）知，x+1≤ex=e（x+1）-1，∴x≤ex-1．
取x=
| k |
| n |
| k |
| n |
| k |
| n |
| ek |
| en |
| n-1 |
 |
| k=1 |
| k |
| n |
| n-1 |
|
| k=1 |
| ek |
| en |
| 1 |
| en |
| e(1-en-1) |
| 1-e |
=
| e |
| 1-e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| en |
| 1 |
| e-1 |
| n-1 |
|
| k=1 |
| k |
| n |
| n-1 |
|
| k=1 |
∴1n+2n+…+（n-1）n≤nn（n∈N*）．
点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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