Question

锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．

解答： 解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，
∵B为锐角，
∴B=30°，即A+C=150°，
∴cosA+sinC=cosA+sin（150°-A）=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，∴120°＜A+60°＜150°，
∴

1

2

＜sin（A+60°）＜

3

2

，即

3

2

＜

3

sin（A+60°）＜

3

2

，
则cosA+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

2

）．
故答案为：（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．