Question

（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开式中的常数项是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：将（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开得到（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，将（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开式中的常数项转化为（x-

2

x

）⁶的常数项加（x-

2

x

）⁶的含x^-2项的系数，利用二项展开式的通项公式求出（x-

2

x

）⁶的常数项和x²（x-

2

x

）⁶的含x^-2项的系数，进一步求出（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开式中的常数项．

解答： 解：因为（1+x²）（x-

2

x

）⁶=（x-

2

x

）⁶+x²（x-

2

x

）⁶，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开式中的常数项转化为（x-

2

x

）⁶的常数项加（x-

2

x

）⁶的含x^-2项的系数，
（x-

2

x

）⁶的展开式的通项为T_r+1=

C

r 6

x^6-2r（-1）^r
令6-2r=0得r=3，所以（x-

2

x

）⁶的常数项为：-

C

3 6

×2³=-160，
令6-2r=-2得r=4所以（x-

2

x

）⁶的含x^-2项的系数为

C

4 6

×2⁴=240，
所以（1+x²）（x-

2

x

）⁶展开式中的常数项为：240-160=80．
故答案为：80．

点评：本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于中档题．