Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，
（1）求A；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的BC边上高的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinBcosA=sinB，结合sinB≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$；由A∈（0，π），可求A的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求bc≤12，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由（2b-c）cosA=acosC得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，…（2分）
即：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…（4分）
∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$；
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$； …（6分）
（2）由余弦定理得：b²+c²-bc=12，
则：bc≤12，（当$b=c=2\sqrt{3}$时等号成立），…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}×12×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，即△ABC面积的最大值为$3\sqrt{3}$；…（10分）
∴BC边上高的最大值为：$\frac{{2{{（{S_{△ABC}}）}_{max}}}}{a}=\frac{{2×3\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}}=3$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．