题目内容

14．已知等差数列{an}前n项和是Sn，公差d=2，a6是a3和a7的等比中项，则满足Sn＜0的n的最大值为（　　）
A．14B．13C．7D．6

分析 设等差数列{an}的首项为a1，把a6、a3、a7用a1 表示，由已知列式求得a1，写出Sn，利用二次函数求最值．

解答 解：设等差数列{an}的首项为a1，则a6=a1+10，a3=a1+4，a7=a1+12．
∵a6是a3和a7的等比中项，
∴${a}_{3}{a}_{7}={{a}_{6}}^{2}$，即$（{a}_{1}+4）（{a}_{1}+12）=（{a}_{1}+10）^{2}$，
解得：a1=-13．
∴${S}_{n}=-13n+\frac{n（n-1）×2}{2}={n}^{2}-14n$．
由Sn＜0，得n2-14n＜0，解得0＜n＜14．
∴满足Sn＜0的n的最大值为13．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题．

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